欲知函数为何物?必先知其来自何方圣地?纵观上下五千年,方圆数万里,一切皆在运动变化之中,而现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系.数学上,我们用函数模型描述这种依赖关系,并通过研究函数的性质了解他们的变化规律.可见,函数不过是我们认识世界改造世界之一种数学工具.

    于是在初中数学中,就有了传统意义的函数定义:

    在某一个运动变化的过程中有两个变量x,y,对于x在某个范围内的每一个值,按照某种对应法则f,变量y都有唯一确定的值和它对应,这时就说y是x的函数,记为y=f(x),其中x叫做自变量,x的取值范围就是定义域,对应的y的值叫函数值,函数值的取值范围就是值域.显然,这里的函数定义来自于初中物理的运动学内容,其实数学就是在科学尤其是物理学发展的过程中逐渐产生并壮大起来的,为了丈量土地,产生了平面几何;在研究天文学的过程中产生了三角与圆锥曲线；在研究不规则图形的面积问题中产生了微积分；而函数显然就是研究运动变化的规律中出现的，因而它的概念有明显的物理背景。

    但在现实中，函数本身的概念常常被遗忘，一提到函数，我们立刻会联想到正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，我想这大概是先入为主的缘故吧！因为认识事物，往往第一印象是很关键的，可对函数概念这样的理解，就只能算是初级境界了，毕竟在诸多函数中，上述几类具体函数只不过是特例而已，更多的函数并不见得能归入这些类型，何况，能写出表达式的函数也是很有限的。高中一年级的学生，基本是停留在这个境界的，有些甚至还达不到这样的要求，他的印象中只有函数、正比例、反比例、一次、二次这样的名称，要进一步问他具体内容，就只能摇头说不明白了。

    从高中进校开始，我们接触到了集合的概念，包括集合间的包含关系，运算关系等，许多同学不明白为什么要学习集合，等到函数定义出来时才知道，原来现在的函数定义是建立在两个非空数集上的一种对应，包括一对一、多对一两种情形。由原来运动变化基础上的定义到如今建立在两个集合对应之上的定义，这是一种视角的改变，也是一种观念的更新，这个所谓“近代定义”中有几点需要注意：

    一是必须是两个非空的数集A和B，而不是其他的集合；

    二是对A中的任意一个元素x,在对应关系f的作用之下，在B中必有一个元素f(x)与它对应；

    三是f:A→B中A、B是有顺序的，有主次之分的；

    四是明白A是所有x的集合，叫做函数的定义域，所有对应元素f(x)的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，特别要清楚，一般情况下值域{f(x)|x∈A}是集合B的子集，言下之意B中可以有元素不是A中元素的对应元素。

    对于函数概念一定要把握其三要素：定义域、对应关系和值域，还要坚持一个原则：定义域优先。

    对集合观点下的函数定义如果能抓住这样几点，就说对函数概念的理解又上升了一个层次，达到了更高的境界。

    然而我们更重要的是应该明白：函数虽然有解析法、列表法和图象法等常用的方法来表示，但函数不光是像正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等这样既能够用解析法来表示，又能够用列表法和图象法来表示的，还有许多的函数关系只能用图象表示，如现在证券公司的大屏幕上显示的“股价走势图”，，或者只能用列表的办法来表示的，如年份与国内生产总值（GDP）的对应关系，而且还有的函数需要在不同的范围内用不同的解析式来表示，就称为“分段函数”，如出租车的收费与行驶路程的函数关系，邮寄包裹时的费用与包裹重量的函数关系等。学习到这里，不仅需要掌握函数的基本表示方法，还要明确什么样的函数用什么样的方法表示是适当的，要学会在具体问题中选择恰当的方法来表示函数关系，另外还要掌握常见函数的三种表示方法之间的相互转化，尤其是提高学生的读图能力，使之能充分利用函数图像提供的信息，解决相关问题，强化数形结合意识。

    既然函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值或最小值，函数图象图有什么特征等，是非常重要和必要的。这里就涉及函数的单调性与最值，函数的奇偶性等。

    要从数量与图形两个方面对函数的单调性有所把握，即要学会利用定义判断一个函数在某个区间上的单调性，掌握其步骤：取给定区间内两个自变量的值x1,x2,设x1<x2,进而比较对应的函数值f(x1)与f(x2)的大小，一般用作差法来比较，就是看f(x1)-f(x2)的结果是大于0还是小于0，然后再根据函数单调性的定义作出结论。这个过程可以简单地记为：取值－作差－判号－结论。还要注意观察函数的图象特征：从左向右函数图象是上升的还是下降的。