P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,PH⊥平面ABC于H.
  求证:1/PA²+1/PB²+1/PC²=1/PH².
  对于这道题目,第一印象是觉得条件与结论相去甚远.

  题设所叙述的几何关系是比较常见的,可以看作是用一个平面斜着去截一个正方体的顶点P上相邻的三个面而得到的几何体.题中的点H是顶点P在截面ABC上的射影,于是线段PH可视为以ABC为底面的三棱锥P-ABC的高,又PA,PB,PC两两垂直,这样线段PA,PB,PC就可以分别视为以与其垂直的侧面为底的三棱锥的高.可是需要证明的结论中,这些线段却是以平方加倒数的形式出现的,它与我们前面的认识有什么联系呢?

  先把欲证式的左边通分,得到分子上是:PB²×PC²+PA²×PC²+PA²×PB²,如果先抛开平方不论,则可以看出求和的这三项与上面三棱锥的侧面面积有关,分别是三个侧面直角三角形的面积的2倍,那么平方之后自然就是各自面积的4倍了.再看分母:PA²×PB²×PC²,原来是三棱锥体积平方的36倍!而欲证式右边的分母PH²是三棱锥高的平方,若将刚才变形后的左边分母PA²×PB²×PC²乘到右边,于是右边的意义就成了体积平方除以高的平方,即为底面ABC的面积平方的4倍,这样所要证明的等式就成了如下形式:

   (S_△PBC)²+(S_△PAC)²+(S_△PAB)²=(S_△ABC)².

  熟悉近几年数学高考的人应该对这个结论不陌生.上式就是2003年新课程卷文科第15题的答案的形式.当年的题目内容如下:
   在平面几何里,有勾股定理:"设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB²+AC²=BC²."拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:"设三棱锥P-ABC的三个侧面PBC,PAC,PAB两两垂直,则＿＿＿＿＿＿＿.

  虽然其中的条件在细节上有所不同,但本质没有两样.可见我们现在所研究的证明题,很可能就是命题者根据2003年的高考试卷中这道填空题编拟的.
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