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上次说到,如果随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则Eξ=1/p.
证明如下:
∵ξ服从几何分布,g(k,p)=qk-1p,
∴Eξ=1×p+2×qp+3×q2p+…k×qk-1p+…=p(1+2q+3q2+…+kqk-1+…)
令S=1+2q+3q2+…+kqk-1+…,
为了得到S的值,不妨先来求其前n项的和.
Sn=1+2q+3q2+…+kqk-1+…+nqn-1,
这种形式的式子求和要用到等比数列求和的方法:乘公比错位相减法.于是有
qSn=q+2q2+3q3+…(k-1)qk-1+…+(n-1)qn-1+nqn,两式相减,得
(1-q)Sn=1+q+q2+…+qk-1+…+qn-1-nqn=(1-qn)/(1-q)-nqn,

∴Sn=[1-qn-n(1-q)qn]/(1-q)2,
于是当n→+∞时,Sn→S=1/(1-q)2=1/p2,(∵1-q=p)

所以,Eξ=p×1/p2=1/p.

posted on 2007-06-19 10:13 无理数 阅读(471) 评论(1)  编辑 收藏 引用 网摘

评论:
# re: 关于数学期望与方差的思考(续) 2007-07-09 17:15 | 阿超
好东东,期待更多新品,精品.
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