上次说到,如果随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则Eξ=1/p.
证明如下:
∵ξ服从几何分布,g(k,p)=q^k-1p,
∴Eξ=1×p+2×qp+3×q²p+…k×q^k-1p+…=p(1+2q+3q²+…+kq^k-1+…)
令S=1+2q+3q²+…+kq^k-1+…,
为了得到S的值,不妨先来求其前n项的和.
S_n=1+2q+3q²+…+kq^k-1+…+nq^n-1,
这种形式的式子求和要用到等比数列求和的方法:乘公比错位相减法.于是有
qS_n=q+2q²+3q³+…(k-1)q^k-1+…+(n-1)q^n-1+nqⁿ,两式相减,得
(1-q)S_n=1+q+q²+…+q^k-1+…+q^n-1－nqⁿ=(1-qⁿ)/(1-q)－nqⁿ,

∴S_n=[1-qⁿ-n(1-q)qⁿ]/(1-q)²,
于是当n→+∞时,S_n→S=1/(1-q)²=1/p²,(∵1-q=p)

所以,Eξ=p×1/p²=1/p.