随笔-8  评论-7  文章-1  trackbacks-0
        对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差。
        一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
   ξ    x1    x2    …    xn    …
   P    p1    p2    pn    …
则称
                Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
        既然期望就是平均数,哪它与我们初中学过的平均数到底是不是一回事?可以肯定地说,就是一回事!
        初中学过:一组数据:x1,x2,x3,…,xn的平均值x=(x1+x2+x3+…+xn)/n,
这与上面期望的定义式究竟是什么关系?是特殊与一般的关系!
        试看,如果期望定义式中的p1=p2=…=pn=1/n,那期望不就成了初中的平均数了吗?实际上,初中学过的平均值只不过是等可能性事件时离散型随机变量的期望,自然就是现在所说的数学期望的特殊情形了.而现在的数学期望包含了更广泛的意义,因为不一定离散型随机变量x 的每一个取值都出现一次,可能有的多有的少,所以按照他们出现的频率来求平均值是合理的,也是应该的.
        若η=aξ+b,其中a,b为常数,则η也是随机变量.因为
P(η=axi+b)=P(ξ=xi);i=1,2,3,…
所以,η的分布列为
      η       ax1+b    ax2+b     …     axn+b     …  
      P        p1       p2     …        pn     …  
于是
        Eη=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…
            =a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)
            =aEξ+b,
                       E(aξ+b)=aEξ+b

下面考察服从二项分布的随机变量的期望.
设在一次试验中某事件发生的概率是p,η是一次试验中此事件发生的次数,令q=1-p,则
P(η=0)=q,P(η=1)=p,Eη=0×q+1×p=p,由此可知,在一次试验中此事件平均发生p次.我们有理由猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若ξ~B(n,p),则Eξ=np.下面对此作出证明.
∵P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k=Cnkpkqn-k,
∴Eξ=0×Cnkp0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+kCnkpkqn-k+…+nCnnpnq0
        =np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…Cn-1n-1pn-1q0)
        =np(p+q)n-1
        =np.
所以,
                  若ξ~B(n,p),则Eξ=np.

若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则可以证明,Eξ=1/p.
究竟怎样证明?且听下回分解!
posted on 2007-06-18 16:46 无理数 阅读(2346) 评论(0)  编辑 收藏 引用 网摘

只有注册用户登录后才能发表评论。