对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。
        一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

则称
                Eξ=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+…
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
        既然期望就是平均数,哪它与我们初中学过的平均数到底是不是一回事?可以肯定地说,就是一回事!
        初中学过:一组数据:x₁,x₂,x₃,…,x_n的平均值x=(x₁+x₂+x₃+…+x_n)/n,
这与上面期望的定义式究竟是什么关系?是特殊与一般的关系!
        试看,如果期望定义式中的p₁=p₂=…=p_n=1/n,那期望不就成了初中的平均数了吗?实际上,初中学过的平均值只不过是等可能性事件时离散型随机变量的期望,自然就是现在所说的数学期望的特殊情形了.而现在的数学期望包含了更广泛的意义,因为不一定离散型随机变量x 的每一个取值都出现一次,可能有的多有的少,所以按照他们出现的频率来求平均值是合理的,也是应该的.
        若η=aξ+b，其中a,b为常数，则η也是随机变量．因为
P(η=ax_i+b)=P(ξ=x_i);i=1,2,3,…
所以，η的分布列为

η	ax1+b	ax2+b	…	axn+b	…
P	p1	p2	…	pn	…

于是
        Eη=(ax₁+b)p₁+(ax₂+b)p₂+…+(ax_n+b)p_n+…
            =a(x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+…)+b(p₁+p₂+…+p_n+…)
            =aEξ+b,
即

E(aξ+b)=aEξ+b

下面考察服从二项分布的随机变量的期望.
设在一次试验中某事件发生的概率是p,η是一次试验中此事件发生的次数,令q=1-p,则
P(η=0)=q,P(η=1)=p,Eη=0×q+1×p=p,由此可知,在一次试验中此事件平均发生p次.我们有理由猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若ξ~B(n,p),则Eξ=np.下面对此作出证明.
∵P(ξ=k)=C_n^kp^k(1－p)^n-k=C_n^kp^kq^n-k,
∴Eξ=0×C_n^kp⁰qⁿ⁺¹×C_n¹p¹q^n-1+2×C_n²p²q^n-2+…+kC_n^kp^kq^n-k+…+nC_nⁿpⁿq⁰
        =np(C_n-1⁰p⁰q^n-1+C_n-1¹p¹q^n-2+…C_n-1^k-1p^k-1q^(n-1)-(k-1)+…C_n-1^n-1p^n-1q⁰)
        =np(p+q)^n-1
        =np.
所以,

若ξ~B(n,p),则Eξ=np.

若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则可以证明,Eξ=1/p.
究竟怎样证明?且听下回分解!