在数学论坛上看到这样一道立体几何问题:
P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,PH⊥平面ABC于H.
求证:1/PA2+1/PB2+1/PC2=1/PH2.
对于这道题目,第一印象是觉得条件与结论相去甚远.
题设所叙述的几何关系是比较常见的,可以看作是用一个平面斜着去截一个正方体的顶点P上相邻的三个面而得到的几何体.题中的点H是顶点P在截面ABC上的射影,于是线段PH可视为以ABC为底面的三棱锥P-ABC的高,又PA,PB,PC两两垂直,这样线段PA,PB,PC就可以分别视为以与其垂直的侧面为底的三棱锥的高.可是需要证明的结论中,这些线段却是以平方加倒数的形式出现的,它与我们前面的认识有什么联系呢?
先把欲证式的左边通分,得到分子上是:PB2×PC2+PA2×PC2+PA2×PB2,如果先抛开平方不论,则可以看出求和的这三项与上面三棱锥的侧面面积有关,分别是三个侧面直角三角形的面积的2倍,那么平方之后自然就是各自面积的4倍了.再看分母:PA2×PB2×PC2,原来是三棱锥体积平方的36倍!而欲证式右边的分母PH2是三棱锥高的平方,若将刚才变形后的左边分母PA2×PB2×PC2乘到右边,于是右边的意义就成了体积平方除以高的平方,即为底面ABC的面积平方的4倍,这样所要证明的等式就成了如下形式:
(S△PBC)2+(S△PAC)2+(S△PAB)2=(S△ABC)2.
熟悉近几年数学高考的人应该对这个结论不陌生.上式就是2003年新课程卷文科第15题的答案的形式.当年的题目内容如下:
在平面几何里,有勾股定理:"设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2."拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:"设三棱锥P-ABC的三个侧面PBC,PAC,PAB两两垂直,则_______.
posted on 2007-05-28 11:25
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