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  2008年2月23日
Algebra & arithmetic terms:  Absolute value 绝对值
  Add (addition) 加
  Average value 算术平均值
  Algebra 代数
  Algebraic expression 代数式
  Arithmetic mean 算术平均值
  Arithmetic progression (sequence)等差数列
  Approximate 近似
  Abscissa 横坐标
  Ordinate 纵坐标
  Binomial 二项式
  Common factor 公因子
  Common multiple 公倍数
  Common divisor 公约数
  Simple fraction
  Common fraction 简分数
  Complex fraction 繁分数
  Common logarithm 常用对数
  Common ratio 公比
  Complex number 复数
  Complex conjugate 复共轭
  Composite number 合数
  Prime number 质数
  Consecutive number 连续整数
  Consecutive even(odd) integer 连续偶(奇)数
  Cross multiply 交叉相乘
  Coefficient 系数
  Complete quadratic equation 完全二次方程
  Complementary function 余函数
  Constant 常数
  Coordinate system 坐标系
  Decimal 小数
  Decimal point 小数点
  Decimal fraction 纯小数
  Decimal arithmetic 十进制运算
  Decimal system/decimal scale 十进制
  Denominator 分母
  Difference 差
  Direct proportion 正比
  Divide 除
  Divided evenly 被整除
  Differential 微分
  Distinct 不同的
  Dividend 被除数,红利
  Division 除法
  Division sign 除号
  Divisor 因子,除数
  Divisible 可被整除的
  Equivalent fractions 等值分数
  Equivalent equation 等价方程式
  Equivalence relation 等价关系
  Even integer/number 偶数
  Exponent 指数,幂
  Equation 方程
  Equation of the first degree 一次方程
  Endpoint 端点
  Estimation 近似
  Factor 因子
  Factorable quadratic equation 可因式分解的二次方程
  Incomplete quadratic equation 不完全二次方程
  Factorial 阶乘
  Factorization 因式分解
  Geometric mean 几何平均数
  Graph theory 图论
  Inequality 不等式
  Improper fraction 假分数
  Infinite decimal 无穷小数
  Inverse proportion 反比
  Irrational number 无理数
  Infinitesimal calculus 微积分
  Infinity 无穷大
  Infinitesimal 无穷小
  Integerable 可积分的
  Integral 积分
  Integral domain 整域
  Integrand 被积函数
  Integrating factor 积分因子
  Inverse function 反函数
  Inverse/reciprocal 倒数
  Least common denominator 最小公分母
  Least common multiple 最小公倍数
  Literal coefficient 字母系数
  Like terms 同类项
  Linear 线性的
  Minuend 被减数
  Subtrahend 被减数
  Mixed decimal 混合小数
  Mixed number 带分数
  Minor 子行列式
  Multiplicand 被乘数
  Multiplication 乘法
  Multiplier 乘数
  Monomial 单项式
  Mean 平均数
  Mode 众数
  Median 中数
  Negative (positive) number 负(正)数
  Numerator 分子
  Null set (empty set) 空集
  Number theory 数论
  Number line 数轴
  Numerical analysis 数值分析
  Natural logarithm 自然对数
  Natural number 自然数
  Nonnegative 非负数
  Original equation 原方程
  Ordinary scale 十进制
  Ordinal 序数
  Percentage 百分比
  Parentheses 括号
  Polynomial 多项式
  Power 乘方
  Product 积
  Proper fraction 真分数
  Proportion 比例
  Permutation 排列
  Proper subset 真子集
  Prime factor 质因子
  Progression 数列
  Quadrant 象限
  Quadratic equation 二次方程
  Quarter 四分之一
  Ratio 比率
  Real number 实数
  Round off 四舍五入
  Round to 四舍五入
  Root 根
  Radical sign 根号
  Root sign 根号
  Recurring decimal 循环小数
  Sequence 数列
  Similar terms 同类项
  Tens 十位
  Tenths 十分位
  Trinomial 三相式
  Units 个位
  Unit 单位
  Weighted average 加权平均值
  Union 并集
  Yard 码
  Whole number 整数
  Mutually exclusive 互相排斥
  Independent events 相互独立事件
  Probability 概率
  Combination 组合
  Standard deviation 标准方差
  Range 值域
  Frequency distribution 频率分布
  Domain 定义域
  Bar graph 柱图
  Geometry terms:
  Angle bisector 角平分线
  Adjacent angle 邻角
  Alternate angel 内错角
  Acute angle 锐角
  Obtuse angle 钝角
  Bisect 角平分线
  Adjacent vertices 相邻顶点
  Arc 弧
  Altitude 高
  Arm 直角三角形的股
  Complex plane 复平面
  Convex (concave) polygon 凸(凹)多边形
  Complementary angle 余角
  Cube 立方体
  Central angle 圆心角
  Circle 圆
  Clockwise 顺时钟方向
  Counterclockwise 逆时钟方向
  Chord 弦
  Circular cylinder 圆柱体
  Congruent 全等的
  Corresponding angle 同位角
  Circumference (perimeter) 周长
  Concentric circles 同心圆
  Circle graph 扇面图
  Cone (V =pai * r^2 * h/3) 圆锥
  Circumscribe 外切
  Inscribe 内切
  Diagonal 对角线
  Decagon 十边形
  Hexagon 六边形
  Nonagon 九边形
  Octagon 八边形
  Pentagon 五边形
  Quadrilateral 四边形
  Polygon 多边形
  Diameter 直径
  Edge 棱
  Equilateral triangle 等边三角形
  Exterior (interior) angle 外角/内角
  Extent 维数
  Exterior angles on the same side of the transversal同旁外角
  Hypotenuse 三角形的斜边
  Intercept 截距
  Included angle 夹角
  Intersect 相交
  Inscribed triangle 内接三角形
  Isosceles triangle 等腰三角形
  Midpoint 中点
  Minor axis 短轴
  Origin 原点
  Oblique 斜三角形
  Plane geometry 平面几何
Oblateness (ellipse) 椭圆
  Parallelogram 平行四边形
  Parallel lines 平行线
  Perpendicular 垂直的
  Pythagorean theorem 勾股定理
  Pie chart 扇图
  Quadrihedron 三角锥
  Radius 半径
  Rectangle 长方形
  Regular polygon 正多边形
  Rhombus 菱形
  Right circular cylinder 直圆柱体
  Right triangle 直角三角形
  Right angle 直角
  Rectangular solid 正多面体
  Regular prism 正棱柱
  Regular pyramid 正棱锥
  Regular solid/polyhedron 正多面体
  Slope 斜率
  Sphere ( surface area=4 pai r^2, V=4 pai r^3 / 3)
  Side 边长
  Segment of a circle 弧形
  Semicircle 半圆
  Solid 立体
  Square 正方形,平方
  Straight angle 平角(180度)
  Supplementary angle 补角
  Scalene cylinder 斜柱体
  Scalene triangle 不等边三角形
  Trapezoid 梯形
  Volume 体积
  Width 宽
  Vertical angle 对顶角
  Word problem terms:
  Apiece 每人
  Per capita 每人
  Decrease to 减少到
  Decrease by 减少了
  Brace 双
  Cardinal 基数
  Cent 美分
  Nickel 五美分
  Dime 一角
  Penny 一美分
  Down payment 定金,预付金
  Simple interest 单利
  Compounded interest 复利
  Foot 英尺
  Dozen 打
  Gross = 12 dozen 罗
  Gallon = 4 quart 加仑
  Fahrenheit 华氏温度
  Depth 深度
  Discount 折扣
  Cumulative graph 累计图
  Interest 利息
  Margin 利润
  Profit 利润
  Retail price 零售价
  Pint 品脱
  Score 二十
Common year 平年
  Intercalary year(leap year) 闰年
  Quarter 夸脱
  代数 ALGEBRA
  1.数论
  natural number 自然数 positive number 正数 negative number 负数odd integer, odd number 奇数 even integer, even number 偶数 integer, whole number 整数 positive whole number 正整数 negative whole number 负整数consecutive number 连续整数real number, rational number 实数,有理数 irrational(number)无理数 inverse 倒数composite number 合数 e.g. 4,6,8,9,10,12,14,15… prime number 质数 e.g. 2,3,5,7,11,13,15… reciprocal 倒数 common divisor 公约数 multiple 倍数 (minimum) common multiple (最小)公倍数 (prime) factor(质)因子common factor 公因子ordinary scale, decimal scale 十进制 nonnegative 非负的 tens 十位 units 个位mode 众数 mean平均数 median中值 common ratio 公比
  2. 基本数学概念
  arithmetic mean 算术平均值 weighted average 加权平均值 geometric mean 几何平均数 exponent 指数,幂 base 乘幂的底数,底边 cube 立方数,立方体 square root 平方根cube root 立方根common logarithm 常用对数digit 数字 constant 常数 variable 变量inverse function 反函数complementary function 余函数 linear 一次的,线性的 factorization 因式分解 absolute value 绝对值,e.g.|-32|=32 round off 四舍五入数学
  3. 基本运算
  add,plus 加 subtract 减 difference 差 multiply, times 乘product 积 divide 除divisible 可被整除的 divided evenly 被整除 dividend 被除数,红利 divisor 因子,除数,公约数 quotient 商remainder 余数 factorial 阶乘 power 乘方 radical sign, root sign 根号 round to 四舍五入 to the nearest 四舍五入
  4.代数式,方程,不等式
  algebraic term 代数项 like terms, similar terms 同类项 numerical coefficient 数字系数literal coefficient 字母系数inequality 不等式triangle inequality 三角不等式 range 值域 original equation 原方程equivalent equation 同解方程,等价方程 linear equation 线性方程(e.g.5x+6=22)
  5.分数,小数
  proper fraction 真分数 improper fraction 假分数 mixed number 带分数 vulgar fraction,common fraction 普通分数 simple fraction 简分数 complex fraction 繁分数 numerator 分子 denominator 分母 (least)common denominator (最小)公分母 quarter 四分之一 decimal fraction 纯小数 infinite decimal 无穷小数 recurring decimal 循环小数 tenths unit 十分位
  6. 集合
  union 并集 proper subset 真子集 solution set 解集
  7.数列
  arithmetic progression(sequence) 等差数列 geometric progression(sequence) 等比数列
  8.其它
  approximate 近似 (anti)clockwise (逆) 顺时针方向 cardinal 基数ordinal 序数 direct proportion 正比 distinct 不同的 estimation 估计,近似 parentheses 括号 proportion 比例 permutation 排列combination 组合 table 表格 trigonometric function 三角函数 unit 单位,位
  几何 GEOMETRY
  1.角
  alternate angle 内错角 corresponding angle 同位角 vertical angle 对顶角 central angle 圆心角 interior angle 内角 exterior angle 外角 supplementary angles 补角complementary angle 余角 adjacent angle 邻角acute angle 锐角 obtuse angle 钝角right angle 直角 round angle 周角 straight angle 平角 included angle 夹角
  2.三角形
  equilateral triangle 等边三角形 scalene triangle 不等边三角形sosceles triangle 等腰三角形 right triangle 直角三角形 oblique 斜三角形 inscribed triangle 内接三角形
  3.收敛的平面图形,除三角形外
  semicircle 半圆 concentric circles 同心圆 quadrilateral 四边形pentagon 五边形hexagon 六边形 heptagon 七边形 octagon 八边形nonagon 九边形 decagon 十边形 polygon 多边形 parallelogram 平行四边形 equilateral 等边形 plane 平面 square 正方形,平方 rectangle长方形 regular polygon 正多边形 rhombus 菱形 trapezoid 梯形
  4.其它平面图形
  arc 弧line, straight line 直线line segment 线段 parallel lines平行线 segment of a circle 弧形
  5.立体图形
  cube 立方体,立方数 rectangular solid 长方体regular olid/regularpolyhedron 正多面体circular cylinder 圆柱体 cone 圆锥 sphere 球体 solid 立体的
  6.图形的附属概念
  plane geometry 平面几何 trigonometry 三角学 bisect 平分ircumscribe 外切 inscribe 内切intersect 相交 perpendicular 垂直 Pythagorean theorem 勾股定理(毕达哥拉斯定理)congruent 全等的multilateral 多边的 altitude 高 depth 深度 side 边长 circumference, perimeter 周长 adian 弧度 surface area 表面积 volume 体积 arm 直角三角形的股 cross section 横截面 center of a circle 圆心chord 弦diameter 直径radius 半径 angle bisector 角平分线 diagonal 对角线 edge 棱 face of a solid 立体的面 hypotenuse 斜边included side 夹边 leg 三角形的直角边 median(三角形的)中线 base底边,底数(e.g. 2的5次方,2就是底数) opposite 直角三角形中的对边midpoint 中点 endpoint 端点 vertex (复数形式vertices)顶点tangent 切线的transversal 截线 intercept 截距
  7.坐标
  coordinate system 坐标系 rectangular coordinate 直角坐标系 origin 原点 abscissa 横坐标 ordinate 纵坐标 number line 数轴 quadrant 象限 slope 斜率complex plane 复平面
  8.计量单位
  cent 美分 penny 一美分硬币 nickel 5美分硬币 dime 一角硬币 dozen 打(12个) score 廿(20个) Centigrade 摄氏 Fahrenheit 华氏 quart 夸脱 gallon 加仑(1 gallon = 4 quart) yard 码 meter 米 micron 微米 inch 英寸 foot 英尺 minute 分(角度的度量单位,60分=1度)square measure 平方单位制 cubic meter 立方米 pint 品脱(干量或液量的单位)
  基本规律
  2 所有的质数(2除外)都是奇数,但奇数不一定是质数
  2 若b>a,则b/a > (b+1)/(a+1) ;若b < a>
  其它
  1.单位类
  cent 美分 penny 一美分硬币 nickel 5美分硬币 dime 一角硬币 dozen 打(12个) score 廿(20个) Centigrade 摄氏 Fahrenheit 华氏 quart 夸脱 gallon 加仑(1 gallon = 4 quart) yard 码 meter 米 micron 微米 inch 英寸 foot 英尺 minute 分(角度的度量单位,60分=1度) square measure 平方单位制 cubic meter 立方米 pint 品脱(干量或液量的单位)
  2.有关文字叙述题,主要是有关商业
  intercalary year(leap year) 闰年(366天) common year 平年(365天) depreciation 折旧 down payment 直接付款 discount 打折 margin 利润 profit 利润 interest 利息 simple interest 单利 compounded interest 复利 dividend 红利 decrease to 减少到 decrease by 减少了 increase to 增加到 increase by 增加了 denote 表示 list price 标价 markup 涨价 per capita 每人 ratio 比率 retail price 零售价 tie 打
http://blog.sina.com.cn/s/blog_50bda79c01008l0s.html
posted @ 2008-02-23 12:18 无理数 阅读(928) | 评论 (2)编辑 收藏
  2007年11月8日
    凡是学数学者,无不对函数概念印象深刻,记忆犹新.皆因函数乃数学之基石,它自始至终引领数学之潮流.

    欲知函数为何物?必先知其来自何方圣地?纵观上下五千年,方圆数万里,一切皆在运动变化之中,而现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系.数学上,我们用函数模型描述这种依赖关系,并通过研究函数的性质了解他们的变化规律.可见,函数不过是我们认识世界改造世界之一种数学工具.

    于是在初中数学中,就有了传统意义的函数定义:

    在某一个运动变化的过程中有两个变量x,y,对于x在某个范围内的每一个值,按照某种对应法则f,变量y都有唯一确定的值和它对应,这时就说y是x的函数,记为y=f(x),其中x叫做自变量,x的取值范围就是定义域,对应的y的值叫函数值,函数值的取值范围就是值域.显然,这里的函数定义来自于初中物理的运动学内容,其实数学就是在科学尤其是物理学发展的过程中逐渐产生并壮大起来的,为了丈量土地,产生了平面几何;在研究天文学的过程中产生了三角与圆锥曲线;在研究不规则图形的面积问题中产生了微积分;而函数显然就是研究运动变化的规律中出现的,因而它的概念有明显的物理背景。

    但在现实中,函数本身的概念常常被遗忘,一提到函数,我们立刻会联想到正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数,我想这大概是先入为主的缘故吧!因为认识事物,往往第一印象是很关键的,可对函数概念这样的理解,就只能算是初级境界了,毕竟在诸多函数中,上述几类具体函数只不过是特例而已,更多的函数并不见得能归入这些类型,何况,能写出表达式的函数也是很有限的。高中一年级的学生,基本是停留在这个境界的,有些甚至还达不到这样的要求,他的印象中只有函数、正比例、反比例、一次、二次这样的名称,要进一步问他具体内容,就只能摇头说不明白了。

    从高中进校开始,我们接触到了集合的概念,包括集合间的包含关系,运算关系等,许多同学不明白为什么要学习集合,等到函数定义出来时才知道,原来现在的函数定义是建立在两个非空数集上的一种对应,包括一对一、多对一两种情形。由原来运动变化基础上的定义到如今建立在两个集合对应之上的定义,这是一种视角的改变,也是一种观念的更新,这个所谓“近代定义”中有几点需要注意:

    一是必须是两个非空的数集A和B,而不是其他的集合;

    二是对A中的任意一个元素x,在对应关系f的作用之下,在B中必有一个元素f(x)与它对应;

    三是f:A→B中A、B是有顺序的,有主次之分的;

    四是明白A是所有x的集合,叫做函数的定义域,所有对应元素f(x)的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,特别要清楚,一般情况下值域{f(x)|x∈A}是集合B的子集,言下之意B中可以有元素不是A中元素的对应元素。

    对于函数概念一定要把握其三要素:定义域、对应关系和值域,还要坚持一个原则:定义域优先。

    对集合观点下的函数定义如果能抓住这样几点,就说对函数概念的理解又上升了一个层次,达到了更高的境界。

    然而我们更重要的是应该明白:函数虽然有解析法列表法图象法等常用的方法来表示,但函数不光是像正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等这样既能够用解析法来表示,又能够用列表法和图象法来表示的,还有许多的函数关系只能用图象表示,如现在证券公司的大屏幕上显示的“股价走势图”,,或者只能用列表的办法来表示的,如年份与国内生产总值(GDP)的对应关系,而且还有的函数需要在不同的范围内用不同的解析式来表示,就称为“分段函数”,如出租车的收费与行驶路程的函数关系,邮寄包裹时的费用与包裹重量的函数关系等。学习到这里,不仅需要掌握函数的基本表示方法,还要明确什么样的函数用什么样的方法表示是适当的,要学会在具体问题中选择恰当的方法来表示函数关系,另外还要掌握常见函数的三种表示方法之间的相互转化,尤其是提高学生的读图能力,使之能充分利用函数图像提供的信息,解决相关问题,强化数形结合意识。

    既然函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么了解了函数的变化规律,也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质,如函数在什么时候递增或递减,有没有最大值或最小值,函数图象图有什么特征等,是非常重要和必要的。这里就涉及函数的单调性与最值,函数的奇偶性等。

    要从数量与图形两个方面对函数的单调性有所把握,即要学会利用定义判断一个函数在某个区间上的单调性,掌握其步骤:取给定区间内两个自变量的值x1,x2,设x1<x2,进而比较对应的函数值f(x1)与f(x2)的大小,一般用作差法来比较,就是看f(x1)-f(x2)的结果是大于0还是小于0,然后再根据函数单调性的定义作出结论。这个过程可以简单地记为:取值-作差-判号-结论。还要注意观察函数的图象特征:从左向右函数图象是上升的还是下降的。

posted @ 2007-11-08 17:55 无理数 阅读(144) | 评论 (0)编辑 收藏
  2007年10月18日

有一个来自2006年第13期<读者>的故事,叫<逻辑的力量>,内容是这样的:


在美国的普林斯顿大学,一个男孩深深地爱上了一个女孩.但是,他一直不知道该如何向她表白,因为他怕被拒绝.一天,他终于想到了一个接近女孩的好方法,于是,他鼓起勇气,向正在校园里读书的女孩走去.

他对女孩说:"你好,我在这张字条上写了一句关于你的话,如果你觉得我写的是事实,那就麻烦你送我一张你的照片好吗?"

女孩立即想到,这又是一个找借口来追求自己的男孩,她想:无论他写什么,只要自己都说不是事实,这样不就可以了吗?于是,女孩欣然答应了男孩的请求.

"如果我说的不是事实,你千万不要把照片送给我!"男孩急忙说.

"那当然!"女孩俏皮地回答.

男孩把那张字条递给了女孩.女孩胸有成竹地打开了字条.但是,随即她却皱起了眉头,因为,她绞尽脑汁也想不出拒绝男孩的方法,只好恭敬地把自己的照片送到了男孩是手中.

那个聪明的男孩究竟写了什么呢?其实,他写的只不过是一句极其简单的话:"你不会吻我,也不想把你的照片送给我."

这个智慧的男孩名叫罗纳德·斯穆里安.后来,他成了美国著名的逻辑学家,而那个女孩,成了他的妻子.

posted @ 2007-10-18 15:39 无理数 阅读(121) | 评论 (0)编辑 收藏
  2007年10月17日
叶澜教授“新基础教育”经典言论

新基础教育:让教育还原为本色的教育,就是尊重、实践教育规律。
新基础教育:让教育成为接受者愉悦接受的教育,就是以学生健康发展为本。
新基础教育:让教育成为师生互动的教育,就是追求师生共同发展。


叶澜新论:
新论一:在我看来,普通中小学是整个中国教育的基石,是孕育中华民族未来的摇篮。实现转型,是中国学校21世纪初变革的基本走向和关涉全局的基础性核心任务。
新论二:我把21世纪初中国学校变革的核心走向定位“实现转型”,即学校教育的整体形态、内在基质和日常的教育实践要完成由“近代型”向“现代型”的转换。
新论三:“新基础教育”课题组与实验学校的成员,正努力地把上述认识转化为实践形态,开展着创建新型学校的研究性学校改革实践活动。


“新基础教育”宗旨:
就是要从生命和基础教育的整体性出发,唤醒教育活动的每一个生命,让每一个生命真正“活”起来。


“新基础教育”三个转换:
一是以生命观为核心的教育观念转换;
二是改革学校日常的教学生活与班级生活,实行实践层面上的转换;
三是转变师生在学校的生存方式,实现师生生命在生存意义上的转换。


“新基础教育”四个“还给”:
把课堂还给学生,让课堂换发出生命的活力;
把班级还给学生,让班级充满成长的气息;
把创造还给老师,让教育充满智慧的挑战;
把精神发展的主动权还给学生,让学校充满勃勃生机。


课堂教学七条:
1、保证学生自主学习的时间和空间(自主学习的时间不得少于1/3,学习空间的结构要体现开放性、多样性与灵活性);
2、关注每一个学生的学习状况;
3、实现师生之间的民主与平等;
4、培养学生的质疑问难;
5、促进师生的有效互动;
6、实现学生的“书本世界”与“生活世界”的沟通;
7、注意教学行为的反思与重建。


班级建设七条:
1、学生自主参与班级建设,体现学生主人翁意识;
2、班级管理中岗位设置的广泛性与动态性,让每一个学生都能拥有自己的岗位,培养学生的责任感;
3、关注每一个学生的发展,体现发展的均衡性;
4、班级建设中体现学生的创新性与特色;
5、关注学生在班级日常生活中的质量;
6、班级群体中对学生评价的多元性;
7、班级建设中家长的参与性。

本文来自:http://www.2008red.com/member_pic_341/files/hdszjy/html/article_4958_1.shtml

了解叶澜教授点击:叶澜教授

posted @ 2007-10-17 15:08 无理数 阅读(287) | 评论 (1)编辑 收藏
  2007年6月19日

上次说到,如果随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则Eξ=1/p.
证明如下:
∵ξ服从几何分布,g(k,p)=qk-1p,
∴Eξ=1×p+2×qp+3×q2p+…k×qk-1p+…=p(1+2q+3q2+…+kqk-1+…)
令S=1+2q+3q2+…+kqk-1+…,
为了得到S的值,不妨先来求其前n项的和.
Sn=1+2q+3q2+…+kqk-1+…+nqn-1,
这种形式的式子求和要用到等比数列求和的方法:乘公比错位相减法.于是有
qSn=q+2q2+3q3+…(k-1)qk-1+…+(n-1)qn-1+nqn,两式相减,得
(1-q)Sn=1+q+q2+…+qk-1+…+qn-1-nqn=(1-qn)/(1-q)-nqn,

∴Sn=[1-qn-n(1-q)qn]/(1-q)2,
于是当n→+∞时,Sn→S=1/(1-q)2=1/p2,(∵1-q=p)

所以,Eξ=p×1/p2=1/p.

posted @ 2007-06-19 10:13 无理数 阅读(470) | 评论 (1)编辑 收藏
  2007年6月18日
        对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差。
        一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
   ξ    x1    x2    …    xn    …
   P    p1    p2    pn    …
则称
                Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
        既然期望就是平均数,哪它与我们初中学过的平均数到底是不是一回事?可以肯定地说,就是一回事!
        初中学过:一组数据:x1,x2,x3,…,xn的平均值x=(x1+x2+x3+…+xn)/n,
这与上面期望的定义式究竟是什么关系?是特殊与一般的关系!
        试看,如果期望定义式中的p1=p2=…=pn=1/n,那期望不就成了初中的平均数了吗?实际上,初中学过的平均值只不过是等可能性事件时离散型随机变量的期望,自然就是现在所说的数学期望的特殊情形了.而现在的数学期望包含了更广泛的意义,因为不一定离散型随机变量x 的每一个取值都出现一次,可能有的多有的少,所以按照他们出现的频率来求平均值是合理的,也是应该的.
        若η=aξ+b,其中a,b为常数,则η也是随机变量.因为
P(η=axi+b)=P(ξ=xi);i=1,2,3,…
所以,η的分布列为
      η       ax1+b    ax2+b     …     axn+b     …  
      P        p1       p2     …        pn     …  
于是
        Eη=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…
            =a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)
            =aEξ+b,
                       E(aξ+b)=aEξ+b

下面考察服从二项分布的随机变量的期望.
设在一次试验中某事件发生的概率是p,η是一次试验中此事件发生的次数,令q=1-p,则
P(η=0)=q,P(η=1)=p,Eη=0×q+1×p=p,由此可知,在一次试验中此事件平均发生p次.我们有理由猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若ξ~B(n,p),则Eξ=np.下面对此作出证明.
∵P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k=Cnkpkqn-k,
∴Eξ=0×Cnkp0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+kCnkpkqn-k+…+nCnnpnq0
        =np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…Cn-1n-1pn-1q0)
        =np(p+q)n-1
        =np.
所以,
                  若ξ~B(n,p),则Eξ=np.

若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则可以证明,Eξ=1/p.
究竟怎样证明?且听下回分解!
posted @ 2007-06-18 16:46 无理数 阅读(2343) | 评论 (0)编辑 收藏
  2007年6月5日
有这样一道题:
已知集合A={(x,y)|y2=2x},B={(x,y)|(x-a)2+y2=9},求使A∩B≠Φ的充要条件.
   初读此题,感觉不过如此,只要集合中的两个二元二次方程组成的方程组有解即可.于是提笔写下这样的解答过程:
   解:要A∩B≠Φ只要y2=2x和(x-a)2+y2=9组成的方程组有解,消去y2整理得关于x的一元二次方程x2+(2-2a)x+a2-9=0,此方程有解.于是Δ≥0,即(2-2a)2-4(a2-9)=4(1-2a+a2-a2+9)=4(10-2a)≥0,解得a≤5.
   然而,事情往往不象想像的那么简单.当我拿着这样的自以为不会有啥意外的答案站在讲台上给学生讲解时,却真的出现了意外.因为当我写完了上面的答案,继续向学生解释说,等我们将来学习了解析几何中的圆锥曲线之后,我们会知道这道题其实是要我们来求出开口向右的抛物线y2=2x和圆心在x轴上运动的半径等于3的圆(x-a)2+y2=9有公共点的充要条件,我甚至还向学生努力地解释方程y2=2x为啥表示开口向右的抛物线,而且方程(x-a)2+y2=9为啥表示的是圆,但同时我自己的心里却忽然感觉刚刚给出的答案是不完整的,因为当这个运动的圆从x轴的右边向左边移动时,开始和抛物线没有公共点,在a=5时有了两个公共点,上下各一个,在关于x轴的对称位置上,接着会有四个,当圆刚好过原点时是三个,继续向右时,会变成一个,就在原点,再向右运动则会没有公共点,也就是说,a的值不可能是小于5的所有值,在左边一定还有界限,它会是谁呢?为什么我们的答案却不是这样?
    于是我只好告诉学生,刚才的解答还不完整!我们有重新来读题,想看看问题出在哪里.果然,方程y2=2x既然表示的是开口向右的抛物线,而且顶点是在坐标原点,那就是说,x轴的负半轴上下没有图像,即x≥0,这就是说,上面是关于x的一元二次方程
    x2+(2-2a)x+a2-9=0不仅有解,而且必须有非负解.仅有Δ≥0是不够的,还要加上对称轴-(2-2a)/2≥0,f(0)≥0,但是解出答案以后却是1≤a≤5,依然和刚才利用图像作出的解释有出入!到底哪里又出了意外?
回头再看画在旁边的图形,当动圆从右向左离开原点那一刻,圆心应该在(3,0)点,为啥计算出来的结果会是a≥1呢?再次仔细阅读写在黑板上的解答过程,我终于看到了一句话:有非负解!问题就出在这里!有非负解并不是说都是非负的,而上面的解答是要求所有解都非负,要求过严了,还可能有其中的一个非负.于是还要加上一负一正,一负一零两种情形,即f(0)<0和Δ>0且f(0)=0且对称轴-(2-2a)/2<0,这样得到的范围就是-3≤a≤5.跟前面利用两个方程的曲线分析的结果是一致的.
   这个题目的解答过程是漫长的,用了将近两节辅导课的时间才终于有了比较完整的结局.真的可以说是"一波三折".先是没有注意到题中的隐含条件"x≥0",导致在转化时认为一元二次方程x2+(2-2a)x+a2-9=0有解,从而使a的取值范围扩大;接着在利用方程的曲线分析时发现了这个失误,于是按照一元二次方程x2+(2-2a)x+a2-9=0有非负解来解答,却狭隘的认为上面的一元二次方程只有非负解,主观的缩小了a的取值范围,还是和利用图象分析的结果不一样;回过头来再次对解答过程仔细斟酌,才发觉对一元二次方程有非负解这句话理解的太极端了,有非负解不仅指的是全部是非负解的情形,还包括了部分解非负的情况,于是再次补充了一负一正,一负一零两种情形.最终才有了完整的结果.
    从这里可以看出,许多题目的解答,首先要注意对条件的把握,不仅是明显的已知条件,还有隐含条件,而且后者往往对题目的准确解答起着关键作用;再者,对于题目进行转化时一定要保证等价转化,否则同样会前功尽弃.
    还有一点,这道题在上述的解答过程中涉及到了高中数学的四种基本思想方法:先是化归与转化的思想,把集合的运算问题转化为方程组有解的问题,接着有转化为一元二次方程有非负解的问题,再次转化为解不等式组的问题;其次用到了函数与方程的思想,无论是解方程组还是解一元二次方程都属于这种思想方法的运用;在利用方程的曲线分析题目和转化一元二次方程有非负解时都利用了数形结合的思想;在求使一元二次方程有非负解时又用到了分类讨论的思想.尽管这道题的解答有些烦琐冗长,但这个过程是真实存在的,我在这里分析这个"一波三折"的过程也是有其意义的.希望以后遇到类似的题目会少走一些弯路.
来自http://blog.sina.com.cn/u/49256dab010006gp
posted @ 2007-06-05 09:40 无理数 阅读(131) | 评论 (0)编辑 收藏
  2007年5月28日
 在数学论坛上看到这样一道立体几何问题:

  P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,PH⊥平面ABC于H.
  求证:1/PA2+1/PB2+1/PC2=1/PH2.
  对于这道题目,第一印象是觉得条件与结论相去甚远.

  题设所叙述的几何关系是比较常见的,可以看作是用一个平面斜着去截一个正方体的顶点P上相邻的三个面而得到的几何体.题中的点H是顶点P在截面ABC上的射影,于是线段PH可视为以ABC为底面的三棱锥P-ABC的高,又PA,PB,PC两两垂直,这样线段PA,PB,PC就可以分别视为以与其垂直的侧面为底的三棱锥的高.可是需要证明的结论中,这些线段却是以平方加倒数的形式出现的,它与我们前面的认识有什么联系呢?

  先把欲证式的左边通分,得到分子上是:PB2×PC2+PA2×PC2+PA2×PB2,如果先抛开平方不论,则可以看出求和的这三项与上面三棱锥的侧面面积有关,分别是三个侧面直角三角形的面积的2倍,那么平方之后自然就是各自面积的4倍了.再看分母:PA2×PB2×PC2,原来是三棱锥体积平方的36倍!而欲证式右边的分母PH2是三棱锥高的平方,若将刚才变形后的左边分母PA2×PB2×PC2乘到右边,于是右边的意义就成了体积平方除以高的平方,即为底面ABC的面积平方的4倍,这样所要证明的等式就成了如下形式:

   (S△PBC)2+(S△PAC)2+(S△PAB)2=(S△ABC)2.

  熟悉近几年数学高考的人应该对这个结论不陌生.上式就是2003年新课程卷文科第15题的答案的形式.当年的题目内容如下:
   在平面几何里,有勾股定理:"设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2."拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:"设三棱锥P-ABC的三个侧面PBC,PAC,PAB两两垂直,则_______.

  虽然其中的条件在细节上有所不同,但本质没有两样.可见我们现在所研究的证明题,很可能就是命题者根据2003年的高考试卷中这道填空题编拟的.
http://www.meblog.cn/user3/6466/default.html

posted @ 2007-05-28 11:25 无理数 阅读(463) | 评论 (3)编辑 收藏
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