伊藤清
當我得知蘇聯偉大的數學家，84歲的 Andreyii Nikolaevich Kolmogorov 教授於1987年10月20日離開人世時，我感到像是失去了支柱那樣悲哀與孤寂。在我還是學生時（1937年）讀了他的名著《概率論的基本概念》之後，便立志鑽研概率論，並持續了50年之久。對於我來說，Kolmogorov 就是我的數學基礎。
我與 Kolmogorov 教授僅會過 3 次面。第一次是1962年國際數學家會議 (Stockholm) 時，開幕式前我在大廳裡漫步。當聽見「Ito ? Kolmogorov.」的親切的招呼聲時，我又驚又喜。他用德語問到「你多大年齡？」我答道：「Seiben und vierzig.」他再問：「DreiBig?」（三十幾？）大概日本人都顯得年輕，我也許被看得年輕了10歲。又過了二三日，H. Cramer 教授（全瑞典的大學校長 (Chancelor)，概率論、解析數論的專家）在家裡舉行了晚餐會，招待出席會議的大約10名有關概率方面的學者。Kolmogorov, J.L. Doob 與我都在其中。
第二次是1978年，在參加了國際數學家大會 (Helsinki) 之後，又出席了概率統計國際學術討論會 (Vilnius, Lihtuania, USSR)，回國途中，路經莫斯科時，Kolmogorov 招待 Varadhan (NYU)、 Prokhorov（蘇聯科學院）和我在克里姆林宮旁的一座高雅的餐廳吃了午餐。當時已聽說 Kolomogorov 對高中的數學教育很熱心，招收了一些優秀的學生，親自開課教授。我便詢問了其內容，他舉例說：比如向學生展示簡單的向量場（速度場）的圖，並要求他們畫出積分曲線（軌）；又如讓學生考慮具體的分枝過程的問題等等，以培養學生的數學直觀能力。
第三次是在 Tbilisi (Georgia, USSR, 1983) 召開的日蘇概率統計學術討論會上。當時，僅管他的健康狀況不大好，仍然作了講演，並在宴會上努力創造活躍的氣氛。顯然年輕的一代是很崇敬他的。
Kolmogorov 在數學的幾乎所有領域中，都提出了獨創的思想，導入了嶄新的方法，他的業績是非常輝煌的。然而，我見到他時給我留下的印象卻是不修邊幅的溫厚的君子形象，這也許正是偉大數學家的形象吧。
Kolmogorov 的論文我自認為基本上都好好地讀過了，在撰寫本稿時，我又對他整個的研究成果做了一個直接或間接的調查。對其研究的廣度和深度不得不嘆服。由於時間和篇幅的限制，我僅向讀者談一些並不全面的自己的感受。
吉澤尚明（京都大學）、池田信行（大阪大學）二位教授及京都大學數理研圖書室的各位幫助我查找了資料，在此我表示衷心的感謝。
Kolmogorov 簡歷
根據 B. V. Gnedenko 在 Kolmogorov 70 壽辰時的講演， Kolmogorov 於1903年誕生於俄羅斯的村鎮（現在為市）Tambov。父親是農學家，母親在生下 Kolmogorov 後不久便離開人世，他是被叔母等撫養長大的。1920年（17歲）進入莫斯科大學之前，他當過列車上的乘務員，業餘時間寫了關於牛頓力學定律的論文，論文的原稿未能保存下來，但我們可以想像他是多麼早熟的天才。那時，俄國革命（1917）已經爆發，我很想知道他當時所處的環境，很遺憾沒有有關的資料。
1920年進入莫斯科大學，最初對俄國的歷史感興趣，還調查了15～16世紀的諾布哥羅德的財產登記。以後參加了 V.V. Stepanov 的傅里葉級數（三角級數）討論班，並於1922年（19歲）寫出了關於傅里葉級數，解析集合的著名論文，震動了學術界。其後猶如天馬行空，連續發表了許多重要的研究成果。1925年莫斯科大學畢業，1931年當大學教授，1933年任大學數學研究所所長，1937年成為蘇聯科學院院士。至1987年逝世止，對數學的研究教育作出了很多重大的貢獻。
Kolmogorov 的數學觀
瞭解 Kolmogorov 的數學觀的最好的資料，大概要屬蘇聯大百科辭典中他所執筆的「數學」部分吧。已經出了英文版，我讀了英文版，與原文（俄語）比較，英文版稍微縮略了一些，在這篇文章中，他先闡述了其數學觀，然後通述了自古至今的數學史，並且從他的數學觀出發，詳細描述了這個歷史的各個階段，它可以說是為數學家、科學家們所寫的數學史。我饒有興趣地一口氣讀完了全篇。要說明 Kolmogorov 的數學觀，不僅應當看這篇文章的開始部分，也應當參照占該文大部分的數學史，但由於篇幅及時問的限制，我僅將文章的開始部分簡要介紹如下。
根據 Kolmogorov的觀點，數學是現實世界中的數量關係與空間形式的科學。
(1)因此數學的研究對象是產生於現實中的。然而作為數學加以研究時，必須離開現實的素材（數學的抽象性）。
(2)但是，數學的抽象性並不意味著完全脫離於現實素材。需要用數學加以研究的數量關係與空間形式的種類，應科學技術的要求，是不斷增加著的。因此上面定義的數學內容在不斷地得到豐富。
數學與諸科學：數學的應用是多種多樣的，從原理上講，數學方法的應用範圍是無邊際的，即物質的所有類型的運動都可以用數學加以研究。但是數學方法的作用與意義在不同情況下是不同的。用單一的模式來包羅現象的所有側面是不可能的。認識具體的東西（現象）的過程中總是具有下面兩個互相纏繞的傾向。
(1)僅將研究對象（現象）的形式分離出來，對這個形式作邏輯上的解析。
(2)弄清與已經確立的形式所不相符的「現象的方面」，向具有更多的可塑性，更能完整地包含「現象」的新的形式轉化。
如果在研究的過程中必須時刻考察現象的本質上新的側面，因而研究中的困難主要體現在上面的(2)的話。這樣的現象的研究（如生物學、經濟學、人文科學等）中，數學方法就不是主要的。在這種時候，對現象的所有方面的辨證分析會由於數學形式反而變得含糊。
與此相反，如果用比較簡單的、穩定的某種形式便可以把握研究對象（現象），並且在這個形式的範圍內產生了在數學上需要加以特殊研究（特別是需要創造新的記號和計算法）的困難而複雜的問題時，這種現象的研究（如物理學）則在數學方法的支配圈內。
做了這些一般性的論述後，首先詳細說明了行星運動完全是在數學方法的支配圈內，在這裡數學形式是對於有限質點系的牛頓的常微分方程。
從力學轉向物理學，數學方法的作用幾乎不減，但應用中的困難明顯增加。在物理學中，幾乎沒有不必使用高級數學技術（如偏微分方程理論、泛函分析）的領域。但是研究中出現的困難往往不在於數學理論的推導過程中，而在於「為運用數學所作的假設的選擇」和「由數學手段所得結果的解釋」中。
數學方法具有包含從考察的某個水平開始，向更高的、本質上新的水平轉移這樣一個過程的能力。這種例子在物理理論中是可以見到許多的：擴散現象便是一個古典的好例子。從擴散的宏觀理論（拋物型偏微分方程）向更高的微觀水平的理論（用獨立的隨機過程來描述溶液中粒子隨機運動的統計力學）轉移，從後者出發運用大數定律，可導出把握前者的微分方程， Kolmogorov 對此種情形作了更加詳細具體的說明。
同物理學相比，在生物學中數學更處於從屬地位。在經濟學和人文科學中的，這種情況就更加突出了，在生物學和杜會科學中數學方法的應用主要是以控制論的形式進行的。在這些學科中，數學的重要性以輔助科學── 數理統計學的形式保留幾分，但在杜會現象的精確分析中，各個歷史階段中的本質性差異的側面是占主導地位的，因而數學方法常常要靠邊站。
數學與技術、算術、初等幾何的原理，正像古代數學史所表明的那樣，是從日常生活的需要中產生的。其後的新的數學方法或思想也是受到天文學、力學、物理學等滿足實際需要的學科的影響而產生的，但是數學與技術（工程學）的直接聯繫至今常常是通過已有的數學理論在技術中的應用這樣一個形式來實現的。當然還須指出，根據技術上的要求而直接產生新數學的一般理論這種例子也是有的〔例如，最小二乘法（測地），算子法（電氣工程）。作為概率論的新分支的信息理論（通信工程），數理邏輯學的新分支，微分方程的近似解法，數值解法等〕。
高度的數學理論使得計算機科學的方法急速地發展起來。而計算機科學在解決原子能利用，宇宙開發中的問題等大量的實際問題時扮演了主要的角色。
Kolmnogorov 在後面的數學史的敘述中也總是注重數學與其它諸學科的關聯，同時也高度評價了由於數學內部的要求而推動的純數學的發展。例如，在實際問題的應用這方面，古代希臘要落後於巴比倫，然而在數學的理論方面，希臘遠遠領先於巴比倫。他尤其贊頌了「存在無限多個素數」、「等腰直角三角形的斜邊與另一邊之間不存在公約數」等偉大發現。按著他詳細說明了實際主義的巴比倫數學與理想主義的希臘數學是如何經過中世紀的阿拉伯數學，發展至歐洲的近代數學的過程，非常有趣。我從這個歷史中學到了許多史實。例如，我以前知道變換群這個概念是在18世紀後半葉至19世紀初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式論）等有效地使用了的。但我還想知道現在大學裡講授的（抽象）群的定義到底是由誰給出的。根據 Kolmogorov 的數學史，這個定義是由 A. Cayley 在19世紀中葉所給出的。
總之，Kolmogorov 的數學觀是由他的數學上的獨創性，對於數學應用所抱有的激情及對於數學發展的歷史所具有的洞察。這幾個方面所組成的，難以用一言來概之。如果一定要用一句話來總結，也許可以這樣說： Kolmogorov把數學看成為可以無限制地成長的「生物體」。
Kolmogorov 的數學業績
Kolmogorov 寫了上百篇論文，從中可以看出其特點是：「廣泛的研究領域」、「引入新觀點的獨創性」及「明快的敘述」，其研究領域包括實變函數論、數學基礎論、拓撲空間論、泛函分析、概率論、動態系統、統計力學、數理統計、信息論等多個分支。下面結合背景概述一下這些研究。
實變函數論
Kolmogorov 在莫斯科大學讀書時參加了 Stepanov 的傅里葉級數討論班，從那時（1921）開始，他對數學產生了與趣。當時，主要研究連續函數的微積分學正在向研究可測函數的實變函數論發展。這一新的數學領域受到了極大的關注。Kolmogorov 於1922年（19歲）時，通過引入 集合演算，証明了包含「Borel 不可測解析集合的存在定理 (Suslin)」的新的定理。同年，他還成功地研究了「（形式上）傅里葉級數在幾乎所有點上（以後又研究了所有點上）發散的上的可積函數的構成」。這些結果作為論文分別發表在《Mat. Sbornik》，1925及《Fund. Math.》，1923 (Doklady, 1925)。關於傅里葉級數、直交函數的展開，他也寫了幾篇論文。他還嘗試了 Lebesgue 積分的推廣，涉及了 Denjoy 積分的研究。這些大體上是1930年以前的研究工作。
概率論基礎
Kolmogorov 在概率論力面的一大功績是用測度論的語言將概率論確立為現代數學的一個領域。以往對偶然事件、偶然量未加定義而使用。Kolmogorov 看出了概率與測度的同質性，在概率測度空間 (Ω,F，P) 上，分別將偶然事件定義為 Ω 的 F-可測子集，偶然事件的概率定義為這個子集的 P-測度，偶然量定義為 Ω 上的 F-可測函數，其平均值由積分定義。這樣，概率論的理論展開就變得明確而容易了。
如此將概率作為測度來把握的方法，對於特殊問題 E. Borel（上例），N. Wiener（布朗運動）已經做過嘗試。但用這個方法來對待所有問題的是 Kolmogorov 的《概率論的基本概念》。而 Kolmogorov 証明了在這種情況下有目的地構造出 P 的定理，這就是著名的 Kolmogorov 的擴張定理。
過去作為具體的測度一般僅考慮 Lebesgue-Stieltjes 測度和 Lie 群上的不變測度。由於 Kolmogorov 的測度論式的概率論，新型的概率測度及有關的新問題在對偶然現象的數學研究中不斷地產生了出來。
概率論
Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影響， 1925年前後開始研究獨立隨機變量的級數的收斂問題及發散時的階數。按著研究了 Wiener 過程，在這些研究中，Kolmogorov 引入了幾個新的思想和方法，Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式，Khinchin-Kolmogorov 三級數定理，Kolmogorov 強大數律，Kolmogorov 判別法，Kolmogorov 譜（湍流）等是特別著名的。1939年他還將弱平穩過程的內插、外推問題歸結為傅里葉分析的問題而一舉解決。
Kolmogorov 還將動態系統分為決定論的（古典的）動態系統和概率論的動態系統（馬爾可夫過程），描述前者軌道的是常微分方程，而決定後者轉移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程式和向後方程式（〈關於概率論中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率論（泛函分析）也開始得到應用，概率論的內容變得極其豐富起來。 50年代的馬爾可夫過程的顯著發展的源泉就是 Kolmogorov 的這個研究。我從 Kolmogorov 的這篇論文的序言中的思想得到啟發，引入了表現馬爾可夫過程的軌道的隨機微分方程式。這也決定了我以後的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。對我來說可謂至寶。
數理統計
在日本很遺憾概率論與數理統計之間的交流不太活躍，而 Kolmogorov 等蘇聯的概率論專家是非常重視二者的關係的。概率論是以概率空間為基礎的，在應用於現實問題的時候，需要考慮若干概率空間，然後決定哪個是最適合於實際問題的概率模式。這個決定可以說是數理統計學的一個目的。Kolmogorov 也寫了不少數理統計學的論文。在非參數檢驗法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。
數學基礎論
Kolmogorov 從年輕時起，就對數學基礎論，特別是 Brouwer 的直觀主義（有限立場）有著濃厚的興趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），關於算法也作了研究。
拓樸空間論函數空間論
Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同開創了上同調理論，這是眾所周知的。Kolmogorov 還是同時具有拓撲結構和代數結構的空間理論（線性拓撲空間、拓撲環）研究的開創者之一。
他還研究了全有界的距離空間 E 的 ε-網中最小可能的點數 當 時的性狀，作為 E 的特性量引入了 ε-熵、ε-容量的概念。將其應用於E為連續函數空間的子空間的場合〔與 V. M. Tikhomirov 合著， Uspehi (1959)〕。這是泛函分析方面的嶄新的觀點。
動態系統
Kolmogorov 對於古典動態系統有著很深的知識，他寫過幾篇重要的論文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他還研究了一般的動態系統（單參數保測變換群‧流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作為流的特性量，大家知道有譜型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵這個新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫無疑問，這也為新的遍歷理論開闢了道路。
在其他方面，Kolmogorov 也作了許多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13問題的否定性解決（參看岩波《數學辭典》的 Hilbert 一項），隨機數表的考察（Sankhya, A25, 1963），關於信息理論的研究等。
Kolmogorov 的數學教育觀
Kolmogorov 在莫斯科大學培養了許多數學家，其中不少人已成為國際上的著名學者，這一點廣為人知。他還熱心於高中的數學教育，自己親自寫講義，對數學教育所應有的姿態作了深刻的思考。Kolmogorov 60歲壽辰時（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了題為「教育家 Kolmogoro」的講演。下面參考此文講述一下 Kolmogorov 的數學教育論。蘇聯的教育制度與日本稍有不同，為小學（7～10歲）、初中（11～14歲）、高中（15～17歲）、大學（18歲～20歲），在大學裡數學專業與物理專業在一個系（稱作數學物理系）裡。高中相當於日本的高中2年級到大學1年級，大學相當於日本的大學2年級至碩士研究生。有些類似於日本的舊制高中和大學，大學畢業時要寫論文獲取學位，相當於日本的碩士學位。博士學位授給大學畢業後寫過許多創作論文的特別優秀的學者。
Kolmogorov 認為，有些家長和教師企圖從10歲～12歲左右的學生中挖掘有數學才能的孩子，這樣做會害了孩子，但是孩子到了14～16歲時，情況就不一樣了。他們對數學物理的興趣已很清楚地表現了出來，根據 Kolmogorov 在高中教授數學物理的經驗，大約有一半的學生認為數學物理對自己僅有很小的作用。對於這些學生應該安排簡單內容的課程。這樣，另一半的學生（並不一定他們都要搞數學物理專業）的數學教育就可以更有效地進行。
高中時將數學物理系、工程系、生物農醫系、杜會經濟系等各專業分開為好。各系的主要學科的教授時間可稍稍增加一點（如數學1小時、物理1小時等），即使這樣效果也是非常顯著的。各專業系的教育可以使學生增強目的意識，而不至於影響有寬度的一般教育。革命初期提出的「統一勞動學校」的口號，並不否定個人能力的開發與特殊訓練，而只是意味著廢除階級意識的學校，消除貧苦人面前的障礙。
數學需要特別的才能這一說法在很多情況下是過於誇張了。數學是特別難的科目這一印象可能是產生於笨拙的、極其教條的教學方法。如果有好的教師和好的教科書，正常的平均程度的人的能力足以消化高中數學，並進一步理解微積分的初步知識。
然而，高中生在選擇數學作為上大學的專業時，自然應測驗一下自己對數學的適應性。實際上，在理解（數學的）推論、解決問題、或作出新的發現上，其速度、容易程度和成功度是因人而異的。在數學專業教育中，應選擇在數學領域出成就的可能性大的青年人。
什麼是對於數學的適應性呢？Kolmogorov 總結為以下三點：
(1)算法能力：即對於複雜式子作高明的變形，對於用標準方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力（僅記住許多定理、公式是不行的）。
(2)幾何學直觀：對於抽象的東西，能夠在頭腦中像畫畫一樣描繪出來並加以思考。
(3)一步一步地作邏輯性推理的能力：例如能夠正確地應用數學歸納法。
僅有這些能力，而對研究題目不抱有強烈的興趣、不作持久不斷的研究活動的話，還是起不了什麼作用。
在大學的數學教育中，好的教師又是什麼樣的呢？
(i)講課高明。如用其它的科學領域的例子來吸引學生。
(ii)以清晰的解釋和寬廣的數學知識來吸引學生。
(iii)善於作個別指導。清楚每個學生的能力，在其能力範圍內安排學習內容，使學生增強自信心。
以上每一條都是有價值的，而理想的教師應屬(iii)類型的教師。
對於數學物理系的學生的數學教育，除了常規的課程， Kolmogorov 特別強調了以下兩點：
(i)使學生能夠把泛函分析作為日常工具那樣運用自如。
(ii)重視 practical work。
我最初對這個意思不大明白，最近見到一位曾經在莫斯科大學接受過 Kolmogorov 的指導的先生，便詢問了一下，其意思可能是這樣的，例如對於微分方程式給出具體的係數和邊界條件（每個學生不同），然後讓學生考察方程式的解的性質。
學生在開始搞研究的時候，首先必須使其樹立起「自己能夠搞出點名堂」的自信心。因而在布置研究課題時，不但要考慮「這樣題目的重要性」，還應考慮「這個研究是否能提高學生的水平」，「是否在學生的能力範圍內，而且需要作最大程度的努力才能解決的問題」。
以上就是 Kolmogorov 的數學教育論的概略。Kolmogorov 不僅是偉大的數學家，也是偉大的教育家，也許說是偉大的思想家更合適。