原載於數學傳播第十三卷第四期
V.I. Arnold
高非譯;王繼海校
自從牛頓《自然哲學數學原理》問世至今，已整整三百年了。牛頓這一著作奠定了現代理論物理學基礎，對科學發展全部進程，都產生了巨大影響。書中不少章節，現已發展成為理論，對此，已寫出了成千上萬的書。
1.
牛頓的書，主要為了論述如何解決如下數學問題：證明在到與吸引中心的距離平方成反比的引力作用下，被吸引物體沿橢圓運動，而吸引中心在其中一個焦點上（當初始速度足夠大時，物體也可能沿其它錐截曲線──拋物線和雙曲線──運動）。換句話說，即根據牛頓萬有引力定律，推出刻卜勒行星第一定律（行星沿備圓軌道運行，太陽位於其中一個焦點上）。
為此目的，牛頓遠遠地發展了力學的數學工具，從大家熟知的牛頓三定律直到月球攝動理論。
2.
無論是萬有引力定律還是牛頓定律，都不是牛頓發現的。慣性定律（牛頓第一定律）始於伽利略。惠更斯在1659年推導了圓周運動的向心力公式（為此，需要掌握牛頓第二定律）。1663年，惠更斯在倫敦皇家科學院會議上，敘述了能量和動量守值規律。
刻卜勒(1609)寫道：「如果地球停止吸引，所有海水都將湧入月球。」引力平方反比定律，已見於1645年 I. Biot 所著書中。
激發牛頓認真研究引力的推動力，是虎克的一封信。虎克是始建於1662年的皇家科學院的學監，根據規定，學監有責任在每間舉行的科學院會議上演示二三種證明某些自然定律的實驗。這些定律不一定是他本人的發現，也可得知於和其他學者的通訊，或取自出版物等，只要求是由實驗證明成立的定律。
虎克忠實地完成了自己的使命，在長達四十年的期間裏，證明了大量自然規律。他個人，一生中發現的規律達五百以上。其中一些規律，至今仍以虎克命名，如彈性基本定律：回復力正比於對平衡位置的偏離。其它一些規律，被歸屬於另外的作者（如氣體彈性定律，作為助手虎克的發現，首先在波義耳的書中發表，現稱為波義耳─馬略特定律）。
3.
由於每周都必須證明幾項自然規律，虎克常常很匆忙，無暇顧及自己所發現規律的數學表述。1679年底至1680年初，在與牛頓的通信中。虎克把自己關於引力的一些想法告知牛頓：
(1)被中心力所吸引的物體，當力的大小反比於距離平方時，將沿偏心的類橢圓線（即類似於橢圓的曲線）運動；
(2)實驗已經證明，地球引力隨高度增加而減小；
(3)如同彈性力在趨向平衡位置時變弱一樣，當物體向礦井下落時，引力也將減弱，因此（在無阻力情況下）落體軌道將類似橢圓，其中心即在地球中心處。虎克未能精確確定軌道形狀。看來，他用圖解法積分運動方程，或者利用了某種特殊的模擬計算器（虎克曾對沿平面、球面，或者其它曲面運動的擺進行實驗，他指出，這些實驗，視表面不同模擬的引力規律亦不同）。
4.
虎克希望，牛頓以其卓越的數學方法，定能證明軌道的橢圓性。牛頓也的確完成了這一任務。他用幾何方法的證明曾經是（而且仍然是）異常複雜，這使牛頓清楚地意識到，虎克「所斷定的比他所知道的要多」 。因此，在進一步的工作中，他避免引用虎克。哈雷在1686年曾勸說牛頓在《原理》中提及虎克（虎克在1666年和1674年就發表過關於引力的論文），在與哈雷的通信中牛頓曾以一段話表達了自己關於數學家（牛頓）與物理學家（虎克）對待科學的差異，這些話時至今日仍有現實意義，牛頓寫道：「發現一切的數學家，應滿足於馱重的牲畜和枯燥無味的計算者的角色，而另一個人，他什麼也不能證明，只是攫取一切，潛望一切，並囊括其前輩及後人的全部榮譽」。
牛頓於1714年斷言，他在1665或1666年發現了距離平方反比規律（關於蘋果落地的軼聞，是牛頓的外甥女大約在1726年向伏爾泰講述的），而軌道的橢圓性，則是在1676或1677年證明的（即在與虎克通訊之前）。後一日期似乎是可疑的，至少，在1684年以前，牛頓從未向任何人談過自己的證明。而且他什麼也沒有發表過。
早在l676年，牛頓就寫道：「人應當作出抉擇──或者什麼都不發表，或者用一生去保衛自己的發明權。」看來，他兩者都做到了：首先，他什麼也未發表過；其次，不斷進行關於發明權的爭辯（與虎克、萊布尼茲、弗萊斯蒂得、等等）。
5.
證明軌道的橢圓性之後，牛頓仍然不認為引力定律已經證明。他注意到，地球不是一個點。當然，在吸引物體遠處，其引力接近於將該質量放於物體中心點的引力。但是引力定律的導出，是建立在地球對月球的吸引和向地面落石（或蘋果）這兩者對比基礎上的，在計算對月球的吸引時，地球尚可認為是一個點，但對石塊，將是另外一種情況。需要證明，雖然地球的不同部位沿不同方向吸引石塊，但其合力對石塊的作用相當於將地球全部質量集中於中心。
對這一事實的幾何證明（如《原理》中所敘述的，其中包括關於完整的球殼對內部點完全無吸引的證明）是要克服許多困難，這在當時也只有牛頓力所能及。
牛頓的這些定理的現代證明基於流體力學考慮，最早由拉普拉斯提出。問題在於，不可壓縮流體唯一可能的球對稱流，是沿徑向的流，其速度與到中心的距離的平方成反比。〔這是因為，單位時間通過半徑為任何值的球面的流量均相等而球面積正比於半徑平方。與此同理，從中心源向外飛散的粒子（例如太陽光子）通量強度反比於到源的距離平方。〕
於是，點質量的引力場在數學上與不可壓縮流體速度場一致！在此意義上，超距作用「變成」了近距作用。
由此立即可得牛頓關於球的引力定理。的確，任意質量系統的引力場在質量之外具有同樣的「不可壓縮性」（由於總場的通量等於分通量之和，所以，不可壓縮場之和也是不可壓縮的）。
由球對稱的質量分布所產生的引力場仍然是球對稱的，在這些質量之外是不可壓縮的，因此，其強度反比於到質量中心的距離。比例常數由以下條件確定：通過包含全部源的球面的通量等於源的總強度。因此，這一比例常數對於所有球對稱的質量分佈都是相同的，其中包括集中於中心的質量。
6.
牛頓的主要結果──在按距離平方反比規律減弱的場中軌道為橢圓──可以從虎克定律和牛頓定律之間的特殊對偶關係中得出。
一般說，對正比於到吸引中心距離的。次方的引力規律，存在看對應的規律，其次方 A 由條件 (a+3)(A+3)=4 確定。對於虎克定律，a=1，因此，牛頓定律(A=-2)與其對偶。
互偶的定律之間的聯繫在於：將按 a 次方規律運動的軌道乘以d=(a+3)/2次方，則此軌道即過渡為按 A 次方規律運動的軌道（兩種軌道均位於複數平面上）〔《原理》出版後三百年所發現的這一事實，可以通過二次微商驗證〕。
按虎克定律，運動軌跡為橢圓，而吸引點在其中心（簡諧振動的初等理論）。
牛頓定律（A=-2）與虎克定律（a=1）互偶，其軌道可通過將虎克的軌道乘以二次方得到（d=2）。原來，當對複數取二次方時 ，虎克的橢圓（中心在原點）即轉化為牛頓的橢圓（焦點在原點）！天文學家包林的這個定理，最簡單的證明方法是利用儒柯夫斯基函數ω=z+1/z（此函數也用於計算機翼升力）。當變數 z 沿中心在原點的圓周取值時，變數 ω 的複數值在焦點為±2的虎克的橢圓上，而儒柯夫斯基函數的平方ω^2=z^2+1/z^2+2，將仍沿橢圓取值，但其焦點已移至原點。
於是，牛頓引力定律的橢圓性，可從虎克定律的橢圓性推導出來。順便指出，虎克定律可作為均勻地球內的礦井中落體規律而得到實現。虎克曾設想過這一規律，而牛頓證明了它（《原理》中的定理XXXIII）。錐截曲線理論是古希臘數學家建立的，兩千年後，牛頓將其應用於天體力學，成為一種基本工具。這是「數學在自然科學中具有不可思議的效力」 的一個光輝例證。1979年諾貝爾物理獎得者溫伯格，對於數學家超前物理學家這一令人驚奇的現象這樣寫道：「一些數學家出賣靈魂給魔鬼，以換取何種數學在許多年後將為物理學家所應用的信息。」
7.
無論是世界體系的發現，無論是理論物理的創建，也無論是天體力學的建立，在公元1700年以前，都未納入劍橋大學或皇家科學院的年度計劃或遠景規劃。長達七百頁的《原理》是牛頓在哈雷的堅持請求下，用一年半的時間完成的。由於此書不在計劃之內，哈雷不得不自己出錢出版。
在此期間，牛頓在特立尼蒂學院任教授。當時他只有三名學生。他講授算術、地理、光學以及其它一些課程。僅在秋季學期授課，（每年十講）每次講一個半小時，有時，沒有一個學生來上課（牛頓的課以難懂著稱），牛頓只好回家。牛頓把更多的時間和精力用於研究煉金術和神學，他的主要發現都是在他23到24歲時這兩個學年中作出的。在《原理》之後（當時牛頓44歲），他脫離了科學工作。
1696年，牛頓被任命為倫敦造幣廠管事，後來又升任廠長，並在由他過去的學生 Halifax 勛爵所領導的經濟改革中發揮了重要作用。Halifax 是英國銀行的創建者，3位英國勛爵大法官 (Lord Justice) 之一，當威廉三世不在時，3位大法官負責管理國家。
始於內戰，終於1688年的「光榮革命」，在英國延續了幾十年的革命變革，使國家的經濟陷入困境。過去幾十年積累的各種弊端，要求經濟改革。在這一過程中，不得不及時停止舊的無聲望貨幣的流通。
牛頓在短期內未增加一台新機床就把貨幣的鑄造增加8倍。與此同時，進行了搜尋和偵察，僅在1697年一年，就同法院提出一些案件，結果約有20名造偽幣者被處決。
1703年虎克去世，牛頓成為皇家科學院院長，直至1727年逝世。
8.
在《原理》一書所包含的一些最重要的物理原理中，需要指出關於時空相對性的思想（「在自然界中既不存在靜止的物體，……也不存在均勻的運動。」）；關於存在慣性坐標系的假設；決定性原理──世界上所有粒子的初始位置和速度，決定其未來和過去。
過去表現為混沌的宇宙，在《原理》之後似乎變成了某種調整好了的鐘錶。基本原理的這種規律性和簡單性（據此可推導出各種觀測到的複雜的運動），在當時被認為是存在上帝的證明。牛頓寫道：「太陽、行星和彗星如此美妙的聯合，只有按照智慧超群、威力無邊的人的旨意才能發生。他掌管一切，不是作為世界的靈魂，而是作為宇宙的統治者，即占有一切的上帝。」
理論物理在牛頓建造的天堂中逗留了二百餘年，直到量子力學和相對論粉碎了這些幻覺。在這裏，甚至簡要地羅列《原理》的主要具體成就，也都是不可能的，故僅限於指出以下幾點：極限理論的建立（與現代理論僅有符號上的差異），阿貝爾積分超越性的拓撲證明（引理XXVIII），稀薄介質中高超音速運動阻力的計算（僅在宇航時代才得到應用），太陽引起的月球攝動的計算。
9.
牛頓之後天體力學的發展，表現為萬有引力定律所取得的一系列巨大成就：觀測上的偏離，被解釋為沒有精確計算攝動所造成（著名的例外──水星近日點的進動：觀測值為每百年576"，而攝動理論僅給出533"。不足的43"只能由廣義相對論予以說明。新物理學常常誕生於對最後幾位數的修正！）
引力論的第一個巨大成就是預言哈雷彗星的回歸。哈雷並未發現公正地以他的名字命名的彗星。他覺察出1456、1531、1607和1682年彗星軌道的相似性，並且大膽預言彗星將在76年後，即在1758年回歸。但是，由於木星和土星的攝動，彗星的回來遲了，實際上是在1759年4月經過近日點的（根據 Klero 的計算，對75年的周期，它將遲到618天），這與 Klero 的預言幾乎一致。
引起對引力定律的普遍性和精確性產生懷疑的另一現象是緩慢的但卻是毫無疑義的木星加速和土星的減速（刻卜勒1625；哈雷1695）。如果這一過程繼續千萬年，它將使太陽系完全改觀；木星將接近太陽，土星將遠離太陽。
全部行星質量總和僅約為太陽質量的千分之一，因此，行星運動中相互吸引所造成的攝動可達其所經過路程的千分之幾。如果攝動積累幾千年，行星可能損落在太陽之上，並相互碰撞，地球也可能因遠離太陽而凍結。
為什麼所有這一切均未發生？問題在於，行星在不同時間所經歷的攝動，不總是沿同一方向，而且具有振盪的性質。
數學上，這種攝動表現為各分量之和，而分量之形式為：cosωt和sinωt ──周期的，並不危險的攝動。積累的攝動，其分量隨時間線性增長，或者表現為振幅隨時間增長的振盪：tcos(ω+θ) 。和時間成正比的危險的分量 at 稱為長期的，因為，即使係數 a 很小（例如千分之一量級），經過若干世紀，攝動也將變得很大。這就產生了長期攝動問題：由於宇宙時間尺度十分巨大（幾千億年），甚至軌道尺度的異常小的長期攝動（如果確實存在的話），也將根本改變全部太陽系的歷史，其中也包括地球的歷史。
10.
問題在於，長期攝動是否真正存在，或者只不過是一種假象，是不成功的數學計算的結果。（例如，考察按x=cosωt振盪的擺，並假設頻率 ω 產生一小擾動 a，成為 ω+a。這時，將攝動展開為 a 的級數，將有cos(ω+a)t=cosωt-atsinωt 。在這一展開中包含看危險的，帶 at 的「混合」項，與此同時，實際的擺動幅度是有限的，完全不隨時間增長。）
對行星攝動的分析，最後使拉格朗日 (1776) 和拉普拉斯 (1784) 得到關於太陽系穩定性的拉普拉斯定理。根據這一定理，即近似在同一平面上，沿互不相交的近似為圓的橢圓軌道向同一方向運動的諸行星相互之間的攝動，僅導致偏心率和在零點附近傾斜的接近周期性的振盪。與此同時，行星到太陽的距離則在初始值附近振盪。換句話說，刻卜勒橢圓的長軸沒有長期攝動。
拉普拉斯定理並未被拉普拉斯嚴格證朗，因為拉普拉斯將攝動表示為級數，並只證明在展開式前幾項中不包含長期分量。
後來證明，級數的所有項中均不包含長期項或混合項。然而，據此（級數中不包含長期項）尚不足以得出結論，確認刻卜勒橢圓長軸永遠保持在其初始值附近，因為級數本身是發散的（其中一些項很大）。級數的前幾項在有限時間範圍內給出很好的近似。但不能據此判斷軌道在宇宙時間尺度內的行為。
至於木星和土星的相互攝動，正如拉普拉斯在1784年所指出，它們僅導致軌道長周期的。而不是長期的變化，其周期約為900年。在450年內。攝動積累造成的木星和土星的移動不足一度。
軌道幾乎位於同一平面。這是極為重要的。如果月球軌道由於某種原因翻轉90度，則月球的偏心率在太陽攝動的影響下將如此迅速增長，以致 4 年內月球將嵌入地球（M.A. 利多夫，1963）。
長時期以來，月球的運動一直是最為複雜的問題。因為月球距地球很近。我們可以紀錄其微小的位移，於是在級數展開中就不得不考慮高階小量項。早在1693年，哈雷就已指出，把阿拉伯和古代觀測月蝕的數據與當代數據加以比較就可發現，月球繞日運行周期以及運行軌道有所減少（「長期加速度」為每百年10"）。1770年，巴黎科學院設獎徵答：引力理論能否解釋上述現象？軌道變短是否將導致月球墜地？歐拉在應徵論文中寫道：「月球長期運動的不同不可能是引力所引起，這似乎已經以不可置疑的明顯性被牢固確立」。他以介質的阻力解釋月球的加速，並認為加速將導致災難 。
但是，到了1787年，拉普拉斯又把月球加速與地球軌道偏心率在行星攝動下的長周期振盪聯繫起來。這些振盪的周期為萬年量級，因此，此現象像是長期性的。
地球軌道偏心率的振盪──是引起出現冰川的主要因素之一。由於這種振盪的作用，列寧格勒的有效經度，在幾萬年內將從 Taimer 的經度變到基輔的經度 (M. Milankovich, 1939)。
至於談到月球，拉普拉斯的解釋只對了一半：除地球軌道偏心率的變化外，還應考慮由潮汐摩擦引起的月球的長期加速（根據某些估計，這種效應的幾乎一半要歸因於白令海）月球的這一長期加速是表面上的。這可以用地球旋轉變慢加以解釋。由於潮汐摩擦，地球自轉周期（晝夜長）將逐漸增加，經過約10億年時間地球晝夜長將增加一倍（由於大氣層和大洋中物質重新分佈而引起的晝夜時間長的季節性振動還要大一百倍）。而月球則由於潮汐摩擦而逐漸遠離地球──10億年遠離兩倍。
11.
兩體運動問題已由牛頓解決，與此同時，即使是3個質點的運動問題，對於一般初始條件下的解析解，至今不但沒有求得，甚至在一定意義上可以說這種解不可能得到（三體問題在《原理》中已被提出）。
儘管如此，歐拉還是指出了某些專門的解 (1767)。在這些特解中，三體相互位置不變或者位於同一直線上，或者位於正三角形的頂點上（拉格朗日，1772）。這樣一些解，在發現木星的軌道上有兩組小行星「希臘人」和「脫羅央」（特洛伊人）與太陽和土星形成兩個等邊三角形（「希臘人」落後於木星，而「脫羅央」則超前木星）之前（1906年），似乎僅僅是數學奇聞。三體位於三角形頂點的解是穩定的，至少在線性近似下是這樣。與此同時，三體位於同一直線的解明顯不穩定，因此，直至最近一些年曾一直被認為是沒有實際意義的。
但是，在宇航時代，情況改變了。位於地球和太陽之間由歐拉解所確定的點上（此點稱為秤動點）的空間站，滿足觀測太陽的最佳條件。這個狀態不穩定，猶如「頭腳倒置」的擺。空間站相對秤動點極小的偶然偏離，將隨時間增長。但走，由於秤動點與精確解相對應，攝動的增長速度很小。為不斷校正軌道偏離，使空間站永遠停留在秤動點附近，所消耗的能量也不是很大（允許偏離度愈小，能量消耗也愈小）。當正確選擇校正方法時，其它物體攝動的影響不改變最後結果（P.E. Eljasberg，1986）。於是，l8世紀發現的精確解，今天在宇航中得到應用。
12.
在牛頓時代太陽系終止於土星。天王星於1781年3月13已被 Herschel，偶然發現（按照當時傳統，在培養專門人才時普遍限制其職責範圍和容許積極活動的領域，Herschel 不受傳統約束，選擇了一條未經開闢的新路）。
1846年9月，在 Adams 和 Leverrier 根據天王星的攝動所預言的位置上發現了海王星。可以說這顆行星是在「筆尖上」發現的。這一發現成為萬有引力定律的新勝利，不過，預言的軌道與實際軌道相差甚遠（海王星與太陽的平均距離為30個天文單位，而不是預言的38天文單位；偏心率也比預言的小若干倍）。
有些研究者認為，海王星在所預言的位置被發現純屬僥倖。原來，Adam 和 Leverrier的計算是以當時觀測的天王星攝動數據為依據的，同時還假設海王星軌道半徑遵從「Bode 定律」（由Tichius 發現的）。但這個假設是不正確的。
Tichius 的經驗定律（Bode 於1772年 發現了 Tichius 發表的論文）給出下列軌道半徑：4（水星），4+3（金星），4 + 3×2（地球），4 + 3×4 （火星），4 + 3×8（？），4 + 3×16（木星），4 + 3×32（土星），4 + 3×64（天王星）。半徑28是一個空白，因為在火星和木星之間不知有任何行星存在。於是，開始尋找這個缺少的行星。
1801年1用1日發現小行星谷神星（直徑約一千分里）之後，不久又相繼發現智神星（直徑600公里），灶神星（直徑540公里），以及婚神星（直徑250公里）。所有這些小行星的軌道均位於火星和木星的軌道之間。現在，天文學家定期觀測2500個類似天體的運動。它們統稱之為小行星。這些小行星的直徑從幾百公里到幾百米。看來，直徑為 D 或大於 D 的小行星數目反比於 D2。據認為，直徑大於一公里的小行星數目達一百萬之多。
13.
有一些小行星的軌道接近於地球軌道，另外一些小行星在行徑火星或土星附近時，可能大大偏離原來軌道，也可能靠攏地球。
根據現代資料，地球與直徑半公里以上的小行星相遇平均約為十萬年一次。小行星與地球相撞時所形成的坑窩，其範圍可達幾十公里（Kaluk 城即位於坑窩上），有時甚至上百公里（西伯利亞北部 Popigay 河口附近）。特別大的小行星能穿透地殼（F.L. Whipple 猜測冰島就是這樣形成的）。
在最近4億年內，與直徑為20公里的小行星愛神星相撞（碰撞速度為14公里/秒）的機率，按現代估計約為五分之一。相撞後形成的坑窩的直徑約為250公里。
與巨大的小行星相撞的後果類似核戰爭：大氣層實際上不能減低小行星的速度，於是，小行星的全部動能，都在與地球相撞的頃刻之間迸發出來。
特別強的碰撞可能有生態學的意義，使個別大陸，甚至整個地球上的某些物種消亡。由此看來，與小行星相撞的作用可與人類自身活動所造成的後果相當，它並不威脅地球的完整性。
14.
大多數小行星繞日公轉周期均在火星和木星公轉周期之間，但分佈極不均勻。1857 Kirkwood 發現存在「窗口」──周期軸上無小行星的空白區。這些窗口與共振（可公約周期）相對應：有一個窗口位於木星的半周期附近，另外一個位於木星周期2/3處。此外，還有分別與2/5， 3/5等相對應的窗口。而且，共振等級（指分數的分母）愈高，窗口愈窄。
與窗口類似的間隙，也存在於土星環中。位於 A 環和B環之間的一個最大間隙，早在1675年即已被 Cassini 發現。在《旅行者-2》所拍攝的B光環的照片上，光環的精細結構清晰可見。寬度為3萬公里的 B 環，由相互之間有很寬間隔的一系列環所組成，其中每一個環又分為若干間隙較窄的小環，等等……看來，一直分到環的寬度與土星環厚度（公里量級）相當為止。
土星光環中的間隙，與土星衛星共振相對應。幾年前，在一次從飛機上進行的天王星遮掩恆星的觀測中，偶然發現了天王星的光環。根據對環的共振結構的分析，蘇聯天文學家 N. N. Kharkavo 和 A. M. Fridman 預言天王星也有一系列衛星。一年半之後，1986年1月24日，當《旅行者-2》掠過天王星附近時，所有這些衛星都被發現了，而且正好在所預言的距離之處。這是牛頓萬有引力定律的又一次勝利。
15.
在歐拉、拉格朗日和拉普拉斯手中，牛頓的數學方法獲得了巨大的技巧上的發展，到 Leverriex 時代，已經達到理論與觀測的高度一致。然而，在思想方面，所有這些複雜的計算仍末超出牛頓所創建的攝動理論的各種方案。
從惠更斯和牛頓的天才發現到黎曼和龐加萊將數學幾何化，其間長達200年的時期似乎成了只不過充滿了各種計算的數學沙漠。
龐加萊，拓樸學以及現代動力系統理論的奠基者，從嶄新的角度提出天體運動的問題。他沒有尋求天體位置隨時間變化的公式，而是提出了關於天體軌道的定性方面的問題。行星是不是相互接近，它們是否會墜落到太陽上，或者遠離太陽而去，等等。拉普拉斯「定理」未能回答這些涉及時間間隔無限的問題，因為正如龐加萊所指出，拉普拉斯的級數是發散的。從龐加萊的《天體力學新方法》和《Analysis Situs》（拓樸）開始，新數學──定性數學誕生了。關於這一新數學在天體力學中的應用，這裏只能略談幾句。
原來，三體或多體系統中的運動，視初始條件如何，或者表現為規則的，或者表現為混沌的。行星沿刻卜勒橢圓軌道的運動是規則運動的例子。這一橢圓軌道在無限長時間內少許而緩慢地改變其偏心率，同時在攝動的作用下緩慢轉動，但永遠停留在略微搖擺（在固定位置附近）的平面上，正如拉普拉斯的近似理論所描繪的那樣。Kirkwood 窗口附近小行星的運動，是混沌運動的例子 (A.I. Neustadt, 1985；J.L. Tennison等, 1986)：與木星的共振相互作用導致偏心率「偶然的」，不規則的，忽而朝這一方向，忽而又朝另一方向的變化。偏心率這種連接不斷的「跳躍」，實際上是各不相關的。根據概率理論，無規則的變化的偏心率有時會變得很大，這時小行星便有可能隕落，例如落到火星上。有一種假說認為，正是這種拋擲小行星的機制，經過上億年終於導致形成窗口 (Wisdom, 1985)。哈雷雪星軌道也在不規則地變化 (B.V. Chirikov, 1986)。
規則運動和混沌運動的初始條件是相互摻雜的，如同有理數和無理數那樣（但有一點差別：無論規則運動，還是混沌運動的概率都是正的，而隨機選擇一個數為有理數的概率等於零）。於是，即使行星和小行星的運動是規則的，初始狀態足夠小的攝動也可以使其變成混沌的。不過，幸而這種攝動的發展速度不大，因此，只要初始狀態攝動足夠小，混沌運動開始產生影響的時間，比太陽系存在的時間長很多。在最近10億年內太陽系不曾明顯變化，而牛頓所描繪的「鐘錶機制」將繼續正常運轉。