金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融动内在规律并用以指导实践。金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前言学科之一。
金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。上个世纪50年代初期，马科威茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方法，引发了第一次“华尔街革命”， 马科威茨因此获得了１９９０年诺贝尔经济学奖。1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”， 修斯因此获得了１９９７年诺贝尔经济学奖。2003年诺贝尔经济学奖第三次授予以数学为工具分析金融问题的美国经济学家恩格尔和英国经济学家格兰杰以表彰他们分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。金融数学在我国起步比较晚，但于1997 年正式实施的国家“九五”重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》，直接推动了我国金融数学这一交叉学科的兴起和发展。
金融数学,运用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分方程，非线性分析，分形几何等现代数学工具研究以下问题：
（1）不完备金融市场有价证券（例如期货，期权等衍生工具）的资本资产定价模型，套利定价理论，套期保值理论及最优投资和消费理论。
（2）利率的期限结构和利率衍生产品的定价理论。
（3）不完备金融市场的风险管理和风险控制理论。
1. 概率论
很不幸的事实是,概率论基本上没有好的中文教材(1998之前,之后我就不清楚了)，
Ross的书适合本科和硕士生,胜在例子详尽，
Billingsley的概率论和弱收敛的两本教材是非常好的入门书，
chung的概率论教材很严格,读起来会有点累，
如果你真的想理解概率论,feller的两本书是不可不读的,可以说,从高中水平到博士以上学位的读者,都会从中获益---如果要推选概率论里面最有影响的教材,feller的书无可比拟，
Breiman的书也是经典,概率味比chung的浓，
loeve的书可以作为工具书使用。
2. 随机分析
黄志远的随机分析入门是一本很好的书，
严加安的鞅论可以做工具书用，
Ross的Inrto to probability model可以做本科生随机过程入门,例子很多，
Karlin & Taylor的两本书非常适合硕士生用，
resnick的书概率味很不错，
oksendal的书是SDE里面最简单的，
Karatzas Shreve有好几本书,金融数学的博士不可不读，
Revuz Yor的连续鞅是很好的书，
Protter的书是严格随机分析里面最容易读的,文笔很好，
williams的书深入浅出,入门很合适，
Chung Williams的书比oksendal稍微难一点,作为应用随机分析的标准教材很不错。
3. 前面两个清单是概率类的,但它们是远远不够的
如果你是数学/物理/计算机博士,而希望去华尔街工作,你会有什么样的机会呢?首先,期望不要太高,举个例子,一个Columbia大学的Associate Prof,做金融工程的(大概比国内大部分"牛人"做的还要好一点),最近跳到了Hedge Fund,也不得不从entry level做起,原由很简单: You have potential, BUT You Don't Know Nothing yet!另外,投行三大业务:underwriting, M&A, trading,做数理的基本和前两项无缘.
数理出身的人在华尔街去向主要是quant(may lead to a trader position in the future, 最好成绩是成为star trader 或head quant). Quant可以是前台,中台,后台.一般说来,前台是最重要的工作,风险也大,risk management和model validation风险小,但bonus也少,属于技术员
还需要什么呢?
数理方面:
统计,特别是时间序列
计算代数,
数值算法
偏微(parabolic and elliptic)
控制论
金融方面:
就要看你想向什么方向走了,大致上有
1. Fixed income
2. Equity
3. Exotic Derivative
4. Credit Derivative
5. Commodity and FX
另外还需要计算机的知识
可以这么说,没有人在所有这些方面都是专家,我以后会在我知道一点的方向列一些书单,但一定要记住,即使把所有这些书都读透了,离成为一个专家还是很远,因为金融毕竟远远不仅仅是模型.当然,如果你选择教书,即使你只懂偏微,你也可以号称自己是金融界数学专家了,呵呵。
4. 控制论
控制论在portfolio selection problem和risk management里面有很多的应用,optimal stopping在美式derivative非常重要
金融数学里面用的主要是随机控制,和粘性解(因为operator is often degenerate)
经典的随机控制书是
1.FLEMING and RISHEL, (1975) Deterministic and Stochastic Optimal Control.
2.KRYLOV, (1980) Controlled diffusion processes
3.BORKAR, (1989) Optimal control of diffusion processes.
4.BENSOUSSAN and LIONS, (1982) Controle Impulsionnel et Inequations Variationnelles
粘性解的标准文献是
1. Crandall, Ishii and Lions, User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992),
2.Fleming and Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions, 1992.